Multipólový rozvoj elektrostatického potenciálu
7.4.2017
Vizualizace nejnižších členů multipólového rozvoje v kartézských souřadnicích.
Úvod | Monopól | Dipól | Kvadrupól | Oktupól | Hexadekupól
Oktupól
Potenciál a elektrické pole oktupólového momentu:
\[ \varphi^{(4)}(\vec{r}) = k \frac{\sum_{i,j,k = 1}^3 O_{ijk} \, x_i x_j x_k}{r^7}, \qquad \vec{E}^{(4)}(\vec{r}) = \frac{k}{r^9} \left( 7 \sum_{j,k,l = 1}^3 O_{jkl} x_j x_k x_l x_i - 3 r^2 \sum_{j,k=1}^3 O_{ijk} x_j x_k \right). \]
Jednotlivé prvky oktupólového momentu $O_{ijk}$ jsou dány vzorcem
\[ O_{ijk} = \frac{1}{2} \int_V \rho(\vec{r}') \left( 5 x_i' x_j' x_k' - 3 \, \delta_{(ij} \, x'_{k)} \, r'^2 \right) dV, \]
kde symbol $A_{(ijk)}$ značí symetrizaci v indexech $(i,j,k)$, tzn.
\[ A_{(ijk)} = \frac{1}{6} \left( A_{ijk} + A_{ikj} + A_{jik} + A_{jki} + A_{kij} + A_{kji} \right). \]
"Hlavní" moment
Uvažujme potenciál a elektrické pole od jediného nenulového oktupólového momentu $O_{111}$.
Izoplochy elektrostatického potenciálu
Potenciál pro $Q_{111} \neq 0$, ostatní prvky nulové:
\[ \left. \varphi^{(4)}(x,y,z) \right|_{O_{111} \neq 0} = k \frac{x^3}{(x^2 + y^2 + z^2)^{7/2}}. \]
Izoplocha elektrostatického potenciálu "hlavního" oktupolového momentu $O_{111}$ (perspektivní pohled).
Izoplocha elektrostatického potenciálu "hlavního" oktupolového momentu $O_{111}$ (pohled shora a zepředu).
Potenciál je rotačně symetrický kolem osy $x$.
Intenzita elektrického pole
Elektrické pole pro $Q_{111} \neq 0$, ostatní prvky nulové:
\[ \left. E_i^{(4)}(\vec{r}) \right|_{O_{111} \neq 0} = \frac{k}{r^9} O_{111} \left( 7 x_1^3 x_i - 3 r^2 \delta_{i1} x_1^2 \right). \]
V rovině $(x,y)$:
\[ \vec{E}^{(4)}_{111}(x,y) = k \, Q_{111} \frac{\left(4x^4 - 3x^2 y^2, 7 x^3 y,0 \right)}{(x^2 + y^2)^{9/2}}. \]
Elektrické pole "hlavního" oktupolového momentu $O_{111}$.
"Směr" elektrického pole "hlavního" oktupolového momentu $O_{111}$; $r^5 \vec{E}^{(4)}$.
Siločáry elektrického pole "hlavního" oktupolového momentu $O_{111}$.
"Deviační" momenty
Jako deviační momenty opět nazveme "mimodiagonální" prvky tenzoru třetího řádu $O_{ijk}$. V zásadě máme pouze dva typy. Jeden index se odlišuje od ostatních dvou a všechny indexy jsou různé. BÚNO volíme nenulové prvky $O_{112}$ a $O_{123}$. Vlivem symetrie tenzoru $O_{ijk}$ ve všech jeho indexech jsou pak samozřejmě nenulové i všechny odpovídající symetrické kombinace, tzn.
\[ O_{112} = O_{121} = O_{211} \neq 0, \]
\[ O_{123} = O_{132} = O_{231} = O_{213} = O_{312} = O_{321} \neq 0. \]
Izoplochy elektrostatického potenciálu pro $Q_{112}$
Pro $Q_{112}$ nenulové (a příslušné symetrické kombinace) máme potenciál
\[ \left. \varphi^{(4)}(x,y,z) \right|_{O_{112} \neq 0} = k \, 3 O_{112} \frac{x^2 y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{7/2}}. \]
Izoplocha elektrostatického potenciálu "deviačního" oktupólového momentu $O_{112}$ (perspektivní pohled).
Izoplocha elektrostatického potenciálu "deviačního" oktupólového momentu $O_{112}$ (pohled shora a zepředu).
Potenciál není rotačně symetrický kolem osy $x$, tedy níže zobrazené elektrické pole v rovině $(x,y)$ nespokytuje informace o poli v celém prostoru.
Intenzita elektrického pole pro $Q_{112}$
A elektrické pole pro $Q_{112}$ nenulové (a příslušné symetrické kombinace):
\[ \left. \vec{E}^{(4)}(\vec{r}) \right|_{O_{112} \neq 0} = \frac{k}{r^9} 3O_{112} \left( 7 x_1^2 x_2 x_i - 3 r^2 \delta_{i1} x_1 x_2 \right). \]
V rovině $(x,y)$ nabývá podoby
\[ \vec{E}^{(4)}_{112}(x,y) = k \, 3 Q_{112} \frac{\left( xy(5x^2 - 2y^2), x^2(6y^2-x^2),0\right)}{(x^2 + y^2)^{9/2}}. \]
Elektrické pole "deviačního" oktupólového momentu $O_{112}$.
"Směr" elektrického pole "deviačního" oktupólového momentu $O_{112}$; $r^5 \vec{E}^{(4)}$.
Siločáry elektrického pole "deviačního" oktupólového momentu $O_{112}$.
Izoplochy elektrostatického potenciálu pro $Q_{123}$
Elektrostatický potenciál pro $Q_{123} \neq 0$ (a všechny symetrické kombinace):
\[ \left. \varphi^{(4)}(x,y,z) \right|_{O_{123} \neq 0} = k \, 6 O_{123} \frac{xyz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{7/2}}. \]
Izoplocha elektrostatického potenciálu "deviačního" oktupólového momentu $O_{123}$ (perspektivní pohled).
Izoplocha elektrostatického potenciálu "deviačního" oktupólového momentu $O_{123}$ (pohled shora a zepředu).
Intenzita elektrického pole pro $Q_{123}$
Elektrické pole pro $Q_{123} \neq 0$:
\[ \left. E_i^{(4)}(\vec{r}) \right|_{O_{123} \neq 0} = \frac{k}{r^9} 6O_{123} \left( 7 x_1 x_2 x_3 x_i - 3 r^2 \delta_{i1} x_2 x_3 \right). \]
V rovině $(x,y)$ je elektrické pole nulové, takže není co ukazovat...