Multipólový rozvoj elektrostatického potenciálu
7.4.2017
Vizualizace nejnižších členů multipólového rozvoje v kartézských souřadnicích.
Úvod | Monopól | Dipól | Kvadrupól | Oktupól | Hexadekupól
Dipól
Potenciál a elektrické pole dipólového momentu mají tvar:
\[ \varphi^{(2)}(\vec{r}) = k \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}, \qquad \vec{E}^{(2)}(\vec{r}) = k \frac{3 (\vec{p} \cdot \vec{r}) \vec{r} - r^2 \vec{p}}{r^5}, \]
kde dipólový moment $\vec{p}$ je dán vztahem
\[ \vec{p} = \int_V \rho(\vec{r}') \vec{r}' dV. \]
Izoplochy elektrostatického potenciálu
Potenciál pro dipól $\vec{p} = (p,0,0)$ má tvar:
\[ \left. \varphi^{(2)}(x,y,z) \right|_{\vec{p} = (p,0,0)} = k \, p \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Izoplocha elektrostatického potenciálu dipólu (perspektivní pohled).
Izoplocha elektrostatického potenciálu dipólu (pohled shora a zepředu).
Potenciál je rotačně symetrický kolem osy $x$.
Intenzita elektrického pole
Elektrické pole pro $\vec{p} = (p,0,0)$:
\[ \left. \vec{E}^{(2)}(\vec{r}) \right|_{\vec{p} = (p,0,0)} = k \frac{3px \, \vec{r} - r^2 \vec{p}}{r^5} = \frac{k \, p}{r^5} (2 x^2- y^2 - z^2,3xy,3xz). \]
Elektrické pole v rovině $(x,y)$:
\[ \vec{E}^{(2)}(x,y) = k \, p \frac{(2x^2 - y^2, 3xy,0)}{(x^2 + y^2)^{5/2}}. \]
Elektrické pole dipólu.
"Směr" elektrického pole dipólu $r^3 \vec{E}^{(1)}$.
Siločáry elektrického pole dipólu.