Multipólový rozvoj elektrostatického potenciálu

7.4.2017

Vizualizace nejnižších členů multipólového rozvoje v kartézských souřadnicích.

Úvod | Monopól | Dipól | Kvadrupól | Oktupól | Hexadekupól

Úvod

Odvození nejnižších členů multipólového rozvoje v kartézských souřadnicích je k nalezení zde (pdf).

Výsledkem multipólového rozvoje je rozvoj elektrostatického potenciálu do řady

\[ \varphi(\vec{r}) = \sum_{\alpha=1}^{\infty} \varphi^{(\alpha)}(\vec{r}) = \varphi^{(1)}(\vec{r}) + \varphi^{(2)}(\vec{r}) + \varphi^{(3)}(\vec{r}) + \varphi^{(4)}(\vec{r}) + \ldots, \]

kde každý následující člen ubývá rychleji se vzdáleností od nabitého tělesa, konkrétně

\[ \varphi^{(\alpha)} \propto \frac{1}{r^{\alpha}}. \]

Explicitní tvar řady pro nejnižší členy je pak následující:

\[ \varphi(\vec{r}) = k \left( \frac{Q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3} + \frac{\sum_{i,j=1}^3 Q_{ij} \, x_i x_j}{r^5} + \frac{\sum_{i,j,k=1}^3 O_{ijk} \, x_i x_j x_k}{r^7} + \ldots \right), \]

kde $k = (4\pi \varepsilon_0)^{-1}$. Konstanty $Q$ (celkový náboj), $\vec{p}$ (dipólový moment), $Q_{ij}$ (kvadrupólové momenty), $O_{ijk}$ (oktupólové momenty) jsou dané rozložením nábojů v nabitém tělese. Konkrétní vzorce pro jednotlivé momenty jsou uvedeny v příslušných sekcích.

Konvence: Důležité je zmínit, že tento tvar rozvoje používá takovou konvenci, že veškeré numerické faktory rozvoje jsou zahrnuty do výrazů pro multipólové momenty. Tato konvence se může lišit od běžně používaných.

Elektrické pole je pak efektivně také rozvinuté do řady

\[ \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{\alpha=1}^{\infty} \vec{E}^{(\alpha)}(\vec{r}) = \vec{E}^{(1)}(\vec{r}) + \vec{E}^{(2)}(\vec{r}) + \vec{E}^{(3)}(\vec{r}) + \vec{E}^{(4)}(\vec{r}) + \ldots, \]

kde jednotlivé členy jsou získané záporně vzatým gradientem z příslušných členů rozvoje elektrostatického potenciálu:

\[ \vec{E}^{(\alpha)} = - \mbox{grad } \varphi^{(\alpha)}. \]

Pro rychlost ubývání se zvětšující se vzdáleností od tělesa pak platí

\[ |\vec{E}^{(\alpha)}| \propto \frac{1}{r^{\alpha+1}}. \]

Vizualizace

Potenciál je vizualizován pomocí izoplochy pevně zvolené hodnoty potenciálu $\varphi_0 > 0$ (až na znaménko). Vykreslené jsou tedy dvě plochy; jedna pro $\varphi(\vec{r}) = \varphi_0$ (oranžově) a druhá pro $\varphi(\vec{r}) = -\varphi_0$ (modře). Pro každý konkrétní potenciál je hodnota $\varphi_0$ zvolena odlišně a to tak, aby plochy vyšly velikostně hezky...

Příklad izoploch potenciálu dipólového momentu.

Elektrické pole je vykreslováno v rovině $(x,y)$, tedy pro $z=0$. Pro vhodně zvolené nenulové multipólové momenty má elektrické pole v rovině $(x,y)$ nulovou třetí složku, $E_z = 0$, a tedy obrázek poskytuje kompletní informaci o poli v dané rovině. Často (u tzv. hlavních momentů, viz komentáře u jednotlivých multipólových momentů) je navíc pole rotačně symetrické kolem osy $x$ (na obrázcích vodorovná osa), a obrázek tedy (při troše představivosti) poskytuje kompletní informaci o poli ve 3D.

Vektory elektrického pole jsou vykresleny v náhodných místech roviny $(x,y)$ pro vytvoření efektu železných pilin. Centrální část je ponechána prázdná, jelikož tam pole diverguje a navíc již není dobrou aproximací přesného pole.

Příklad elektrického pole dipólu.

Pro potlačení ubývání velikosti pole se vzdáleností od centra můžeme elektrické pole "skoronormovat", tzn. pokud například máme elektrické pole $\vec{E}^{(\alpha)}$, které se vzdáleností ubývá jako

\[ \vec{E}^{(\alpha)} \propto \frac{1}{r^{\alpha+1}}, \]

můžeme místo něj uvažovat pole $r^{\alpha+1} \vec{E}^{(\alpha)}$, jemuž se již nezmenšuje velikost se vzdáleností od počátku, ale může se mu měnit velikost vlivem "směrovosti" elektrického pole například díky přítomnosti skalárních součinů v daném výrazu. Neuvažujeme tedy jednotkové směrové vektory

\[ \vec{n} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|}, \]

ale ony "skorosměrové" vektory $r^{\alpha+1} \vec{E}^{(\alpha)}$, které mají směr původního elektrického pole, ale nemusí mít jednotkovou velikost.

Vezměme za příklad pole dipólu. Jeho elektrické pole má tvar

\[ \vec{E}^{(2)}(\vec{r}) = k \frac{3 (\vec{p} \cdot \vec{r}) \vec{r} - r^2 \vec{p}}{r^5}. \]

Po vynásobení $r^3$ máme

\[ r^3 \vec{E}^{(2)}(\vec{r}) = k \left( 3 \left( \vec{p} \cdot \frac{\vec{r}}{r} \right) \frac{\vec{r}}{r} - \vec{p} \right), \]

kde výraz již nezávisí na velikosti polohového vektoru $\vec{r}$, ale závisí v zásadě na úhlu mezi vektory $\vec{r}$ a $\vec{p}$. Směrový vektor $\vec{n}$ by měl vyjádření

\[ \vec{n}^{(2)} = \frac{\vec{E}^{(2)}}{|\vec{E}^{(2)}|} = \frac{3\left(\vec{p} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\right) \frac{\vec{r}}{r} - \vec{p}}{\left|3\left(\vec{p} \cdot \frac{\vec{r}}{r}\right) \frac{\vec{r}}{r} - \vec{p}\right|}. \]

Zobrazený "směr" vektorů elektrického pole dipólu $r^3 \vec{E}^{(2)}$. Vidíme, že jednotlivé šipky mají různou velikost, takže se nejedná o pole $\vec{n} = \vec{E}^{(2)} / |\vec{E}^{(2)}|.$

Směr vektorového pole je nejlépe vidět ze siločar neboli integrálních křivek, tzn. takových křivek, ke kterým je elektrické pole v každém bodě tečné. Tento obrázek neposkytuje jakoukoliv informaci o velikosti vektorů elektrického pole $\vec{E}$. Hustota siločar zde nijak nereprezentuje velikost $\vec{E}$; Mathematica se při vykreslování snaží držet hustotu siločar víceméně konstatní napříč obrázkem.

Příklad siločar elektrického pole dipólu.

Zdrojový kód

Zde je ke stažení zdrojový kód v Mathematice generující okolo se vyskytující obrázky.

Rozcestník (znovu)

Úvod | Monopól | Dipól | Kvadrupól | Oktupól | Hexadekupól