Multipólový rozvoj elektrostatického potenciálu

7.4.2017

Vizualizace nejnižších členů multipólového rozvoje v kartézských souřadnicích.

Kvadrupól

Potenciál a elektrické pole kvadrupólového momentu:

$\varphi^{(3)}(\vec{r}) = k \frac{\sum_{i,j=1}^3 Q_{ij} \, x_i x_j}{r^5}, \qquad E_i^{(3)}(\vec{r}) = \frac{k}{r^7} \left( 5 \sum_{j,k=1}^3 Q_{jk} x_j x_k x_i - 2 r^2 \sum_{j=1}^3 Q_{ij} x_j \right),$

kde prvky kvadrupólového momentu se spočtou jako

$Q_{ij} = \frac{1}{2} \int_V \rho(\vec{r}') \left( 3 x_i' x_j' - \delta_{ij} r'^2 \right) dV.$

Poznámka ke konvenci: Jedna polovina ve vzorci pro výpočet kvadrupólového momentu se často dává do výrazu pro potenciál a kvadrupólový moment je pak bez ní. Zde se držíme konvence, že veškeré numerické faktory, které v multipólovém rozvoji vycházejí, "schováme" do vzorců pro výpočet příslušných momentů.

Hlavní moment

Hlavními kvadrupólovými momenty myslíme prvky na diagonále matice $Q_{ij}$ . Uvažujeme potenciál a elektrické pole generované pro $Q_{11} \neq 0$ , ostatní prvky nulové. Toto ovšem není fyzikálně možné, neboť ze vzorce pro výpočet kvadrupólových momentů plyne

$\sum_{i=1}^3 Q_{ii} = 0.$

Nicméně, nikdo nám nemůže zabránit matematicky rozložit příspěvky k celkovému poli od jednotlivých diagonálních momentů a vykreslit je.

Izoplochy elektrostatického potenciálu

Potenciál pro nenulový prvek kvadrupólového momentu $Q_{11}$ :

$\left. \varphi^{(3)}(x,y,z) \right|_{Q_{11} \neq 0} = k \, Q_{11} \frac{x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.$

Izoplocha elektrostatického potenciálu hlavního kvadrupólového momentu (perspektivní pohled).

Izoplocha elektrostatického potenciálu hlavního kvadrupólového momentu (pohled shora a zepředu).

Potenciál je rotačně symetrický kolem osy $x$ .

Intenzita elektrického pole

Elektrické pole pro nenulový prvek kvadrupólového momentu $Q_{11}$ :

$\left. E_i^{(3)}(\vec{r}) \right|_{Q_{11} \neq 0} = \frac{k}{r^7} Q_{11} \left( 5 x_1^2 x_i - 2 r^2 \delta_{i1} x_1 \right).$

V rovině $(x,y)$ pak máme:

$\vec{E}^{(3)}_{11}(x,y) = k \, Q_{11} \frac{\left(x(3x^2 - 2y^2) ,5x^2 y, 0 \right)}{(x^2 + y^2)^{7/2}}.$

Elektrické pole hlavního kvadrupólového momentu.

"Směr" elektrického pole hlavního kvadrupólového momentu $r^4 \vec{E}^{(3)}$ .

Siločáry elektrického pole hlavního kvadrupólového momentu.

Deviační moment

Deviační momenty jsou mimodiagonální prvky matice $Q_{ij}$ . Matice kvadrupólového momentu je z definice symetrická, $Q_{ij} = Q_{ji}$ . Pro vizualizaci volíme $Q_{12} = Q_{21} \neq 0$ , ostatní prvky nulové.

Deviační momenty lze odstranit vhodnou volbou kartézských souřadných os. Jedná se vlastně o úlohu diagonalizace matice. Jestliže v původních kartézských souřadnicích $(x,y,z)$ má matice kvadrupólového momentu tvar

$Q_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & Q_{12} & 0 \\ Q_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right),$

pak změnou souřadnic

$x' = \frac{x+y}{\sqrt{2}}, \qquad y' = \frac{y-x}{\sqrt{2}}, \qquad z' = z$

(tedy otočení os $(x,y)$ o 45°) docílíme tvaru matice (například jednoduchým znovuvypočtením kvadrupólových momentů v nových souřadnicích):

$Q'_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} Q_{12} & 0 & 0 \\ 0 & -Q_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right).$

Tedy kombinace elektrických polí dvou hlavních kvadrupólových momentů.

Izoplochy elektrostatického potenciálu

Potenciál pro $Q_{12} = Q_{21} \neq 0$ :

$\left. \varphi^{(3)}(x,y,z) \right|_{Q_{12} \neq 0} = k \, 2 Q_{12} \frac{x y}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}.$

Izoplocha elektrostatického potenciálu deviačního kvadrupólového momentu (perspektivní pohled).

Izoplocha elektrostatického potenciálu deviačního kvadrupólového momentu (pohled shora a zepředu).

Potenciál není rotačně symetrický kolem osy $x$ , tedy zobrazené elektrické pole v rovině $(x,y)$ nespokytuje informace o poli v celém prostoru.

Intenzita elektrického pole

Elektrické pole pro $Q_{12} = Q_{21} \neq 0$ :

$\left. E_i^{(3)}(\vec{r}) \right|_{Q_{12} \neq 0} = \frac{k}{r^7} 2Q_{12} \left( 5 x_1 x_2 x_i - 2 r^2 \delta_{i1} x_2 \right)$

V rovině $(x,y)$ :

$\vec{E}^{(3)}_{12}(x,y) = k \, 2Q_{12} \frac{\left( y(4x^2 - y^2), x(4y^2 - x^2),0 \right)}{(x^2 + y^2)^{7/2}}$

Elektrické pole deviačního kvadrupólového momentu.

"Směr" elektrického pole deviačního kvadrupólového momentu $r^4 \vec{E}^{(3)}$ .

Siločáry elektrického pole deviačního kvadrupólového momentu.

Rozcestník (znovu)