Rozplývání vlnového balíku

V případě, že grupová rychlost není konstantní, dochází k jevu rozplývání vlnových balíků.

Podívejme se nyní na vlnový balík v prostředí s disperzním vztahem ω = α k². Spektrum vlnových čísel A(k) bylo pro jednoduchost zvoleno obdélníkové, vycentrované okolo vlnového čísla k₀, šířky Δk. Balík se pohybuje grupovou rychlostí v_g = 2 α k₀, která je dvojnásobkem rychlosti fázové v_φ = α k₀. Časový vývoj je dán výrazem ψ(z,t) = ∫₀^∞ A(k) cos(αk²t–kz) dk, kterýžto můžeme vyjádřit pomocí speciálních funkcí Fresnelových integrálů. Zde je výsledný balík:

Provedením Galileiho transformace si balík znehybníme:

A v delším časovém horizontu pozorujeme jeho rozplývání:

A protože nám z pohybu nosné vlny přechází zrak, volíme vykreslování jednotlivých snímku animace tak, aby se za jeden snímek nosná vlna pohnula právě o násobek své vlnové délky, tzn. je třeba čas posouvat přesně o Δt = λ₀ / v_φ = 2 π / (α k₀²) (a celočíselné násobky tohoto času). Výsledek:

Opět v delším časovém horizontu:

A balík se rozplynul...

Zdrojový kód: nb