Podélné kmity nastavitelného počtu závaží, pevné konce. Všechny závaží mají stejnou hmotnost $m$ a všechny pružinky mají stejnou tuhost $k$.
Vytvořeno s pomocí oCanvas (autor Johannes Koggdal / knihovna vydána pod MIT licencí)
A následuje výpis jednotlivých módů (jejich úhlové frekvence a vektory poměrů amplitud) pro různý počet těles:
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{2k}{m}} \]
\[ \vec{a}_1 = \left(1\right) \]
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{3k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
\[ \vec{a}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \]
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{2k}{m}}, \qquad \omega_3 = \sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})k}{m}} \]
\[ \vec{a}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_3 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array} \right) \]
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{(2+\varphi)k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{(1+\varphi)k}{m}}, \qquad \omega_3 = \sqrt{\frac{(3-\varphi)k}{m}}, \qquad \omega_4 = \sqrt{\frac{(2-\varphi)k}{m}} \]
\[ \vec{a}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -\varphi \\ \varphi \\ -1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1-\varphi \\ 1-\varphi \\ 1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_3 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \varphi-1 \\ 1-\varphi \\ 1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_4 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \varphi \\ \varphi \\ 1 \end{array} \right), \]
kde $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ je poměr zlatého řezu.
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})k}{m}}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{3k}{m}}, \qquad \omega_3 = \sqrt{\frac{2k}{m}}, \qquad \omega_4 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \omega_5 = \sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})k}{m}} \]
\[ \vec{a}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{3} \\ 2 \\ -\sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_3 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_4 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right), \qquad \vec{a}_5 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \\ 2 \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{array} \right) \]
Pro šest těles zahrnují výrazy pro úhlové rychlosti a vektory poměrů amplitud kořeny polynomů třetího stupně, takže explicitní výrazy jsou extrémně ošklivé, tudíž si je odpustíme. ;)