Námětem práce je vyšetření spektrálních vlastností Hamiltoniánu nabité kvantové částice umístěné ve dvojié vrstvě, jejíž části jsou svázány oknem ve společné hranici. O tomto problému je mnohé známo [2], [3, Secs. 1.5, 4.4, 6.4]. Nedávno se objevila analýza Aharonov-Bohmova jevu v těchto systémech [4]. Cílem práce je vyšetřit jiné magnetické poruchy, konkrétně

(a) zformulovat problém a sestavit přehled existujících výsledků
(b) vyšetřit závislost diskrétního spektra na homogenním magnetickém poli uvnitř kruhového okna
(c) vyšetřit spektrální problém pro globálně homogenní magnetické pole a kruhové okno
(d) vyšetřit spektrální problém pro homogenní magnetické pole a okno tvaru mezikruží

Nepředpokládají se žádné speciální znalosti, pouze obeznámenost se základními matematickými metodami kvantové mechaniky [1].

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993.
[2] P. Exner, P. Šeba, M. Tater, D. Vaněk: Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window, J. Math. Phys. 37(1996), 4867-4887.
[3] P. Exner, H. Kovařík: Quantum Waveguides, Springer, Heidelber 2015
[4] H. Najar, M. Raissi: A quantum waveguide with Aharonov-Bohm magnetic field, Math. Meth. Appl. Sci. 39 (2016), 92-103.

Námětem práce je vyšetření spektrálních vlastností řetězových kvantových grafů vystavených působení homogenního magnetického pole a jejich změn v důsledku lokálních a globálních poruch. V literatuře byly vyšetřovány lokální geometrické poruchy nemagnetických řetězových grafů [2], jakož i poruch magnetických grafů spojené se změnami vazbových konstant [3] a lokálních variací magnetického pole [4]. Cílem navrhované práce je

(a) zformulovat problém a sestavit přehled existujících výsledků
(b) vyšetřit spektrální změny plynoucí z lokální změny délek žeber při zachování symetrie
(c) vyšetřit spektrální změny plynoucí z `ohnutí' takového grafu
(d) vyšetřit spektrum v případě, že vazba ve vrcholech grafu není invariantní vůči časové inversi

Nepředpokládají se žádné speciální znalosti, pouze obeznámenost se základními matematickými metodami kvantové mechaniky [1].

[1] J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993.
[2] P. Duclos, P. Exner, O. Turek: On the spectrum of a bent chain graph, J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008), 415206
[3] P. Exner, S.S. Manko: Spectra of magnetic chain graphs: coupling constant perturbations, J. Phys. A: Math. Theor. 48 (2015), 125302
[4] P. Exner, S.S. Manko: Spectral properties of magnetic chain graphs, submitted, Ann. H. Poincaré (2017), to appear; arXiv:1507.00608

Ač magnetické pole vede k lokalisaci nabité částice, přítomnost  "nekonečně dlouhé" překážky může umožnit její transport. Nedávno  bylo dokázáno [4], že takový jev může nastat i pro elektrony  uvězněné ve vrstvě. Cílem je vyšetřit řešitelné modely vrstev,  kde příčinou transportu je buď δ-potenciál nebo nekonečně dlouhé  "okno" mezi polovinami dvojité vrstvy.

[1] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hegh-Krohn, H. Holden: Solvable Models in Quantum Mechanics, 2nd edition, AMS Chelsea 2005
[2] P. Exner, P. Šeba, M.Tater, D. Vaněk: Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window, J. Math. Phys. 37 (1996), 4867-4887
[3] P. Exner, A. Joye, H. Kovařík: Edge currents in the absence of edges, Phys. Lett. A264 (1999), 124-130
[4] P. Exner, T. Kalvoda, M. Tušek: A geometric Iwatsuka type effect in quantum layers, arXiv:1701.05714 [math-ph]

Klasický Iwatsukův výsledek ukazuje, že "nekonečně dlouhá" porucha umožňuje transport dvourozměrné nabité částice v homogenním magnetickém poli. Vyšetřete řešitelné modely, v nichž je příčinou transportu singulární potenciálová porucha.

[1] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hegh-Krohn, H. Holden: Solvable Models in Quantum Mechanics, 2nd edition, AMS Chelsea 2005
[2] P. Exner, P. Šeba, M.Tater, D. Vaněk: Bound states and scattering in quantum waveguides coupled laterally through a boundary window, J. Math. Phys. 37(1996), 4867-4887
[3] P. Exner, A. Joye, H. Kovařík: Edge currents in the absence of edges, Phys. Lett. A264 (1999), 124-130
[4] P. Exner, T. Kalvoda, M. Tušek: A geometric Iwatsuka type effect in quantum layers, arXiv:1701.05714 [math-ph]