Lieovy algebry, grupy a jejich aplikace

Okruhy otázek ke státním závěrečným zkouškám magisterského studia

Obor: Matematická fyzika

Předmět: Lieovy algebry, grupy a jejich aplikace

Předměty vztahující se k okruhům:

  • 02LIAG Lieovy algebry a grupy
 
1. Lieova grupa a Lieovaalgebra –definice, exponenciální zobrazení, toky levoinvariantních vektorových polí, maticové grupy a algebry
 
2. Nejednoznačnost ve vztahu Lieových grup a algeber, klasifikace souvislých Lieových grup sdanou algebrou
 
3. Podgrupy a podalgebry, akce grupy, cosety, podgrupa izotropie, homogenní prostory, příklady prostorů a prostoročasů s tranzitivní akcí grupy symetrií jako homogenních prostorů
 
4. Reprezentace Lieovy grupy, resp. algebry, adjungovaná reprezentace, ireducibilita reprezentací, Schurovo lemma, příklady úplně reducibilních reprezentací
 
5. Základní třídy Lieových algeber, Leviho věta o rozkladu na radikál a poloprostý Leviho faktor, klasifikace Lieových algeber nad R a nad C v dimenzích 1, 2, 3 a jejich vlastnosti
 
6. Nilpotentní Lieovy algebry, Engelova věta a její formulace pro maticové Lieovy algebry
 
7. Řešitelné Lieovy algebry, Lieova věta, vlastnosti derivované algebry řešitelné algebry
 
8. Killingova forma, Cartanova kritéria na určení poloprostoty resp. řešitelnosti dané algebry, rozložitelnost poloprostých algeber na prosté ideály
 
9. Cartanova podalgebra a systém kořenů, jejich vlastnosti, Weylova-Chevalley normální forma poloprosté Lieovy algebry, klasifikace prostých Lieových algeber nad C, kořenové a Dynkinovy diagramy
 
10. Konečněrozměrné reprezentace prostých Lieových algeber nad C, váhy a váhové diagramy, grupa SU(3) a její aplikace pro klasifikaci elementárních částic.