Analytická mechanika

1) Popište jednotlivé druhy vazeb vyskytujících se v mechanice. Definujte konfigurační prostor pro mechanickou soustavu a obecné souřadnice této soustavy. Zapište Lagrangeovy rovnice prvního a druhého druhu pro mechanickou soustavu s holonomními vazbami a vysvětlete jaký je mezi nimi rozdíl.

2) Definujte pojmy virtuální práce a virtuální posunutí. Vyslovte d'Alembertův princip a princip virtuální práce a uveďte, jak spolu tyto principy souvisí. Jak tyto principy souvisí se statickou a dynamickou rovnováhou mechanické soustavy? Popište, jak lze pomocí d'Alembertova principu sestavit pohybové rovnice pro neholonomní soustavu.

3) Zapište Lagrangeovu funkci pro izolovanou soustavu dvou hmotných bodů, které na sebe působí silami nezávislými na rychlostech a splňujícími třetí Newtonův zákon. Určete celkem 10 integrálů pohybu odpovídajících invarianci Lagrangeovy funkce vůči Galileiho transformacím a popište, jak se pomocí nich úloha dvou těles zredukuje na pohyb soustavy s jedním stupněm volnosti.

4) Popište, co jsou to malé kmity a pro které typy soustav nastávají. Popište, jak najít řešení popisující malé kmity dané mechanické soustavy pomocí metody módů. Definujte a vysvětlete co je to mód a normální souřadnice.

5) Definujte pojmy tuhé těleso, tenzor a pseudovektor úhlové rychlosti. Definujte tenzor momentu setrvačnosti, rozeberte jeho vlastnosti a zapište pomocí něj kinetickou energii tuhého tělesa. Popište rovnice, jimiž se řídí pohyb tuhého tělesa.

6) Zapište Eulerovy setrvačníkové rovnice v obecné podobě a v hlavních osách. Najděte jejich řešení pro volný symetrický setrvačník. Definujte Eulerovy úhly a popište jejich vztah k úhlové rychlosti. Vysvětlete pojmy rotace, precese a nutace setrvačníku.

7) Stručně popište co je to variace křivky, funkcionál na prostoru křivek a jeho variace a základní lemma variačního počtu. Definujte akci a zapište podmínku, za které má akce na dané křivce stacionární hodnotu vzhledem k variacím s pevnými konci. Zformulujte Hamitonův a Jacobiho princip pro mechaniku. Diskutujte analogii mezi Jacobiho principem v mechanice a Fermatovým principem voptice.

8) Popište Legendreovu duální transformaci a její roli v analytické mechanice. Co jsou to Hamiltonovy pohybové rovnice. Definujte Poissonovu závorku, uveďte její vlastnosti a zapište pomocí ní Hamiltonovy rovnice. Definujte pojem integrál pohybu a ukažte, jak se ověří, že je daná funkce integrál pohybu v Hamiltonově formalismu.

9) Napište Lagrangeovu a Hamiltonovu funkci pro nabitou částici v elektromagnetickém poli pro případ nerelativistické a relativistické částice. Ukažte, že odpovídající Lagrangeovy rovnice jsou kalibračně invariantní.

10) Zformulujte teorém Noetherové v Lagrangeově formalismu a uveďte příklady týkající se translací a rotací. Jaký je rozdíl, mezi teorémem Noetherové v Lagrangeově a Hamiltonově formalismu? Ukažte, jak zachovávající se veličiny generují symetrie Hamiltonovy funkce.

11) Definujte kanonickou transformaci. Popište základní typy vytvořujících funkcí kanonické transformace. Uveďte kritéria kanoničnosti transformace. Zformulujte Liouvilleovu větu.

12) Zformulujte Hamiltonovu-Jacobiho rovnici a Jacobiho větu. Co je to hlavní funkce Hamiltonova a jaký má význam? Jak se řeší Hamiltonova-Jacobiho rovnice?

13) Zapište vzorce pro speciální Lorentzovy transformace. Co je to interval a jakého typu může být? Vysvětlete pojem relativistický invariant. Co je to světelný kužel? Jaký je matematický model Minkowského prostoročasu? Co to je Lorentzova transformace? Definujte Lorentzovu grupu a popište její strukturu.

14) Co je to vlastní čas? Vysvětlete, co je to čtyřvektor. Definujte pojmy čtyřrychlost, čtyřhybnost a čtyřsíla. Zapište Lorentzovu čtyřsílu a relativistickou pohybovou rovnici pro pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli.