Příklad 5.3 – Vlnovod

Vizualizace vlny ve vlnovodu pro prvních pět módů nezávisejících na souřadnici x.

Elektrické pole ve vlnovodu je tedy závislé pouze na souřadnicích (y, z, t). Okrajové podmínky pak vynutí, že jediná nenulová složka vektoru elektrické intenzity je E_x, tedy E = (E_x, 0, 0).

V následujících animovaných grafech je pak zobrazena hodnota intenzity elektrického pole na rovině x = x₀ (kde x₀ je libovolné, jelikož elektrické pole na souřadnici x nezávisí).

Intenzita elektrického pole pro postupné vlny má tvar: E_x(y, z, t) = sin(mπ/b) cos(ωt - kz), pro tlumené vlny pak E_x(y, z, t) = sin(mπ/b) e^-κz cos(ωt). b je rozměr vlnovodu, m je číslo módu. Vztahy mezi ω, k a κ jsou dány disperzní relací, viz dále.

Pro postupné vlny (zde pro první čtyři módy) platí disperzní vztah ω² = c² ( (mπ/b)² + k²); pro tlumené vlny (zde pátý a vyšší mód) ω² = c² ( (mπ/b)² – κ²).

Pro dané ω můžeme z disperzního vztahu pro jednotlivé módy vyjádřit vlnovou délku λ = 2π/k a fázovou rychlost v_φ = ω/k. Dospějeme k relacím λ₁ < λ₂ < λ₃ < λ₄ a v_φ1 < v_φ2 < v_φ3 < v_φ4.

První mód m = 1:

Druhý mód m = 2:

Třetí mód m = 3:

Čtvrtý mód m = 4:

Více módů najednou – zde "1. mód + 1/2 * 4. mód"

Pátý mód – stojatá exponencielně tlumená vlna:

Pro pátý mód je již ω < ω_min(m = 5); a máme "disperzní" vztah ω² = c² ( (mπ/b)² – κ²), kde κ určuje míru útlumu vlny ve vlnovodu (E_x ~ e^-κz). Vlna se vlnovovodem nešíří, ale tvoří stojatou tlumenou vlnu.

Zdrojový kód

Zdrojový kód, který vygeneroval výše zobrazené gify: nb