Nodální množiny vázaných stavů měkkých kvantových grafů

  • Vedoucí práce / Supervisor: prof. RNDr. Pavel Exner, DrSc., Dr. Vladimír Lotoreichik
  • Pracoviště / Workplace: Ústav jaderné fyziky AV ČR, Řež u Prahy
  • Kontakt / Contact: exner@ujf.cas.cz
Název anglicky / Title English: Nodal sets of bounds states of soft quantum graphs
 
Osnova / Outline: 

Takzvané měkké kvantové grafy se užívají jako modely nanostruktur. Popisují částici vystavenou přitažlivé interakci, jejímž nosičem je graf, nadplocha nebo složitější komplex Σ v prostoru Rn; zhruba řečeno, taková částice se zápornou energií se může pohybovat jedině v blízkosti množiny Σ. Výhodou tohoto modelu ve srovnání s obvyklými kvantovými grafy je, že bere v úvahu kvantové tunelování mezi různými částmi Σ.

Vázané stavy hamiltoniánu měkkého grafu, který lze formálně napsat jako -Δ-αδ(x-Σ) lze získat řešením stacionární Schrödingerovy rovnice, tj. −Δψ = Eψ s odpovídající hraniční podmínkou na nadploše Σ. O vlastních hodnotách energie E je poměrně dost známo [1], cílem předkládané práce je prozkoumat jim odpovídající vlastní funkce ψ: Rn → R, konkrétně jejich nodální množiny 

N(ψ) := {x∈Rn : ψ(x) = 0}.

Ačkoli popsat takovou množinu přesně se daří jen ve výjimečných případech, pomocí analytických metod nevyžadující hluboké předběžné znalosti je možné najít obecné vlastnosti těchto množin. Lze očekávat, že N(ψ) dělí Rn do konečně mnoha oblastí, v nichž každé je vlnová funkce nenulová, a že jejich počet splňuje Courantovu nerovnost [2], tj. nepřesahuje pořadové číslo dané vlastní funkce. Tento výsledek ve stávající literatuře chybí a prvním úkolem projektu bude vypracovat jeho důkaz zobecněním klasického Courantova argumentu. Pokračováním pak bude charakterizace nodálních množin, u nichž zmíněná nerovnost přechází v rovnost, pokusíme se také charakterizovat geometrické vlastnosti nodálních množin a klasifikovat vázané stavy pro některé zajímavé tvary nadploch Σ.

Literatura / reference: 
  1. P. Exner and H. Kovařík, Quantum waveguides, Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Cham, 2015.
  2. R. Courant, Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, Gött. Nachr. (1923), 81–84.
  3. B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, and S. Terracini, Nodal domains and spectral minimal
    partitions, Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire 26 (2009), 101–138.
  4. A. Pleijel, Remarks on Courant’s nodal line theorem, Commun. Pure Appl. Math. 9 (1956),
    543–550.